Serie nn dispari

La serie dei numeri dispari.

Supponete di sommare i numeri naturali dispari consecutivi:

1+3+5+7+ …………

sommate un termine   1=1

sommate due termini   1+3=4

sommate tre termini      1+3+5=9

sommate quattro termini   1+3+5+7=16

sommate cinque termini     1+3+5+7+9=25

……………………………              …………………..

Una successione di somme come le precedenti è un esempio di serie infinita.

Pensate che vi sia una relazione fra il numero di termini addizionati e la somma ottenuta?

Nei cinque casi indicati la somma somma sembra essere uguale al numero degli addendi moltiplicato per se stesso. Possiamo esprimere questo fatto in forma matematica nel modo seguente:

 

La domanda è ora la seguente:”come si scrive l’n-simo termine?”. Forse potete scoprirlo da quanto segue.

Quando si sommano 5 termini si ha:

Osservate che 9=(2×5)-1. Possiamo presumere che quando la somma è di n  termini l’ultimo termine sia (2-1).

Sembra  giusto quindi scrivere:

Questa formula è valida per  =1, 2, 3, 4, 5, come si è visto sopra, e l’intuizione ci porta a ritenere che essa sia valida per qualunque valore di n, ma si può essere sicuri? Per convincerci di questo, ricorriamo ad una rappresentazione geometrica:

partiamo da un termine e rappresentiamolo con

un quadratino

sommate 2 termini 1+3

(si aggiungono 3 quadratini al precedente)

osservate la nuova disposizione quadrata 2×2=4

 

sommate 3 termini 1+3+5

(si aggiungono 5 quadratini ai precedenti)

osservate la nuova disposizione quadrata 3×3=9

 

 

sommate 4 termini 1+3+5+7

(si aggiungono 5 quadratini ai precedenti)

osservate la nuova disposizione quadrata 4×4=16

 

Insomma ora ne sappiamo abbastanza per generalizzare il procedimento. Quindi la somma di n termini può essere scritta come

Un’altra importante caratteristica di questa serie è che essa può essere usata dalle macchine calcolatrici per trovare la radice quadrata di un numero. Per questo basta sottrarre dal numero dato successivamente i numeri dispari consecutivi a partire da 1, e tener nota del numero delle sottrazioni che si fanno per ottenere 0. Il numero delle sottrazioni è uguale alla radice quadrata del numero.

Per esempio per trovare il valore di  √25, procediamo così:

Occorrono 5 sottrazioni per andare da 25 a 0. Dunque la √25=5

Controllate questo metodo prendendo dei quadrati perfetti come 100 o 225.

Più divertente del gioco dell’oca! non vi pare?


 

 

 

 

 

 

 

 

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