l’ora di calcolo – la somma è 3
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Ecco un problema, strettamente legato a quello precedente (Divisione per 9 ).
Cominciamo con un numero qualunque, per esempio 32.
moltiplicatelo per 3 3(32) = 96
aggiungete 1 96+1 = 97
aggiungete ancora 1 97+1 = 98
sommate i tre numeri 96+97+98 = 291
sommate le tre cifre del numero ottenuto 2+9+1 = 12
sommate di nuovo le cifre 1+2 = 3
Ripetete questi passaggi con i numeri seguenti, finché la somma delle cifre darà un numero di una sola cifra. Notate una regolarità nei risultati ?
a. 2; b.4; c. 6; d. 25.
Dovreste avere ottenuto sempre come risultato 3. Potete facilmente dimostrare che questo è vero, qualunque sia il numero da cui partite.
Gli ultimi due passaggi in questo problema sono identici a quelli del problema del 9; quindi il problema precedente spiega anche questi. Ricordiamo che la somma delle cifre di un numero è uguale al resto della divisione del numero per 9. Dobbiamo ora dimostrare che la somma dei tre numeri dati divisa per 9 dà per resto 3. Questo si può fare nel modo seguente:
partite da un numero qualunque n
moltiplicatelo per 3 3n
aggiungete 1 3n+1
aggiungete ancora 1 3n+2
sommate i tre numeri 3n + (3n +1) + (3n + 2) = 9n +3
Questa somma è espressa da un multiplo del 9 più un resto di 3. Se sommiamo le cifre di un tale numero, otteniamo 3.
Inversione e sottrazione in un numero di tre cifre
Partite da un numero di tre cifre diverse l’una dall’altra, per esempio 532.
Invertite l’ordine delle cifre: 235.
Poi sottraete il numero minore dal maggiore:
532-235 = 297.
Ripetete questi passaggi con i seguenti numeri e vedete se scoprite qualche regolarità:
a. 123; b. 956; c. 489; d. 246.
Provate con altri numeri se credete.
Avete notato che in ciascun risultato la cifra di mezzo è 9, e la somma delle altre due cifre è sempre 9?
Diamo ora la prova algebrica di questi risultati.
Partiamo da un numero di tre cifre, privo di cifre uguali. Siano a le centinaia, b le decine, c le unità. Il nostro numero di partenza può essere scritto:
100a + 10b + c.
Se invertiamo l’ordine delle cifre otteniamo:
100c+10b+a.
Supponendo che a sia più grande di c, sottraiamo il minore dal maggiore.
(100a +10b + c) – (100c +10b + a) =100a -100c + c – a =
= 100 (a – c) + c – a = 100 (a – c) – (a – c)
(a – c) potrebbe rappresentare la nuova cifra delle centinaia e – (a – c) la nuova cifra delle unità. Ma – (a – c) è un numero negativo, poiché abbiamo supposto a maggiore di c, e non si comprende come si possa scrivere un numero positivo usando un numero negativo di unità. Possiamo modificare questa situazione aggiungendo e sottraendo 100 nella precedente espressione:
100 (a – c) – (a – c) = (100(a – c) – 100) + 100 – (a – c).
Trasformiamo l’espressione come segue, in modo da avere una cifra delle centinaia, una delle decine e una delle unità: 100(a-c-1)+9(10)+(10-(a-c)).
Ora abbiamo il risultato nella forma desiderata. Possiamo vedere che la cifra delle decine è 9 e che la somma delle altre cifre è sempre 9. Infatti:
(a – c – 1) + (10 – (a – c))=10 – 1 = 9
ciao!
