l’ora di calcolo – la somma è 3

l’ora di calcolo – la somma è 3
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Ecco un problema, strettamente legato a quello precedente (Divisione per 9 ). Cominciamo con un numero qualunque, per esempio 32.

moltiplicatelo per 3 3(32) = 96

aggiungete 1 96+1 = 97

aggiungete ancora 1 97+1 = 98

sommate i tre numeri 96+97+98 = 291

sommate le tre cifre del numero ottenuto 2+9+1 = 12

sommate di nuovo le cifre 1+2 = 3

Ripetete questi passaggi con i numeri seguenti, finché la somma delle cifre darà un numero di una sola cifra. Notate una regolarità nei risultati ?

a. 2; b.4; c. 6; d. 25.

Dovreste avere ottenuto sempre come risultato 3. Potete facilmente dimostrare che questo è vero, qualunque sia il numero da cui partite.

Gli ultimi due passaggi in questo problema sono identici a quelli del problema del 9; quindi il problema precedente spiega anche questi. Ricordiamo che la somma delle cifre di un numero è uguale al resto della divisione del numero per 9. Dobbiamo ora dimostrare che la somma dei tre numeri dati divisa per 9 dà per resto 3. Questo si può fare nel modo seguente:

partite da un numero qualunque n

moltiplicatelo per 3 3n

aggiungete 1 3n+1

aggiungete ancora 1 3n+2

sommate i tre numeri 3n + (3n +1) + (3n + 2) = 9n +3

Questa somma è espressa da un multiplo del 9 più un resto di 3. Se sommiamo le cifre di un tale numero, otteniamo 3.

Inversione e sottrazione in un numero di tre cifre

Partite da un numero di tre cifre diverse l’una dall’altra, per esempio 532.

Invertite l’ordine delle cifre: 235.

Poi sottraete il numero minore dal maggiore:

532-235 = 297.

Ripetete questi passaggi con i seguenti numeri e vedete se scoprite qualche regolarità:

a. 123; b. 956; c. 489; d. 246.

Provate con altri numeri se credete.

Avete notato che in ciascun risultato la cifra di mezzo è 9, e la somma delle altre due cifre è sempre 9?

Diamo ora la prova algebrica di questi risultati.

Partiamo da un numero di tre cifre, privo di cifre uguali. Siano a le centinaia, b le decine, c le unità. Il nostro numero di partenza può essere scritto:

100a + 10b + c.

Se invertiamo l’ordine delle cifre otteniamo:

100c+10b+a.

Supponendo che a sia più grande di c, sottraiamo il minore dal maggiore.

(100a +10b + c) – (100c +10b + a) =100a -100c + c – a =

= 100 (a – c) + c – a = 100 (a – c) – (a – c)

(a – c) potrebbe rappresentare la nuova cifra delle centinaia e – (a – c) la nuova cifra delle unità. Ma – (a – c) è un numero negativo, poiché abbiamo supposto a maggiore di c, e non si comprende come si possa scrivere un numero positivo usando un numero negativo di unità. Possiamo modificare questa situazione aggiungendo e sottraendo 100 nella precedente espressione:

100 (a – c) – (a – c) = (100(a – c) – 100) + 100 – (a – c).

Trasformiamo l’espressione come segue, in modo da avere una cifra delle centinaia, una delle decine e una delle unità: 100(a-c-1)+9(10)+(10-(a-c)).

Ora abbiamo il risultato nella forma desiderata. Possiamo vedere che la cifra delle decine è 9 e che la somma delle altre cifre è sempre 9. Infatti:

(a – c – 1) + (10 – (a – c))=10 – 1 = 9

ciao!

Info su Alberto

Alberto Pélissier nato a Firenze, vive e lavora a Viterbo, dopo una breve esperienza in società americana (Caterpillar) ha insegnato matematica nella scuola media, ha svolto attività di insegnamento utilizzando le nuove tecnologie che ha costantemente adattato alla realtà scolastica. Ha avuto incarichi di docenza in corsi di “Uso didattico del computer”, “Ricerca metodologica e uso consapevole in internet”, “Aggiornamento per l’uso di Cabrì Géometre per docenti di matematica”, ha partecipato ai convegni “Incontri con la matematica” in Castel S. Pietro (Uni Bologna) dal ’97 al 2006, svolge per diletto, attività di “web design”, continua contatti con scuole primarie e secondarie e cura l’aggiornamento del suo blog scolastico - http://www.doddlemath.net - http://www.webal.eu - Ha una collaborazione (volontaria) con la Biblioteca "Fumi" di Orvieto http://www.bibliotecaorvieto.it/ E' appassionato di musica e collabora con la UEL - Università della Età Libera - con proposte di opere e autori di cui cura la presentazione.
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