Una interessante formula per la radice quadrata

Il metodo di stimare la radice quadrata di un numero, e poi  farne il quadrato per vedere se è troppo grande o troppo piccolo, può essere semplificato per eliminare la necessità di tirare a indovinare. Supponiamo di voler calcolare un valore approssimativo di √2.  Se il primo tentativo è 1, prendiamo come secondo tentativo il numero dato diviso il primo, cioè 2 diviso 1: se il primo tentativo fosse già la soluzione giusta il quoziente della divisione dovrebbe essere uguale al divisore 1, invece 2 diviso 1 fa 2. Adesso suggeriamo di prendere come nuovo tentativo la media tra divisore e quoziente, cioè tra 1 e 2. Questa media (1+2)/2, che è uguale a 3/2. Scegliendo 3/2 come nuovo tentativo, proviamo a dividere 2 per 3/2, cioè 2:3/2 = 4/3. Anche questa volta il divisore e il quoziente sono diversi: uno è troppo grande e l’altro è troppo piccolo per essere la soluzione. La media di questi due valori dà un valore ancora più vicino a quello esatto:

questo procedimento può essere portato avanti finché si vuole: ogni passo avanti permette di ottenere una migliore approssimazione. Questo tipo di soluzione è adatto specialmente ai moderni calcolatori elettronici, perché richiede soltanto che si forniscano alla macchina le istruzioni che le dicono di eseguire una serie molto semplice di operazioni aritmetiche: prima una divisione, poi un’addizione, e infine un’altra divisione. Questo ciclo si ripete finché si è raggiunta l’approssimazione richiesta. Il procedimento appena descritto serve per calcolare la radice quadrata di qualsiasi numero N. Supponiamo di aver scelto come primo tentativo per √N un valore qualsiasi x 1; Adesso dividiamo N per x 1 ; otteniamo N/x 1. Poi facciamo la media tra x 1 e N/x 1, per ottenere un nuovo valore di x 1, che sarà più vicino alla risposta esatta. La formula si può scrivere così:

Questa sembra una formula molto ragionevole, perché in sostanza dice: “Cerco un numero che, moltiplicato per se stesso, dia N. Se x 1 è abbastanza vicino alla soluzione giusta, ma troppo grande, allora N/x 1 sarà troppo piccolo, ma la media di questi due numeri dovrebbe essere più vicina alla risposta esatta”. Infatti, x 2 è proprio la media di x 1 e di N/x 1. Questo genere di formula si chiama formula ricorrente, perché si può prendere il valore più preciso, x 2, e introdurlo nella formula al posto di x 1, per ottenere un’approssimazione ancora migliore; a questo procedimento si può ricorrere a piacere finché si sono ottenute tutte le cifre decimali desiderate. Ripetiamo il problema della radice quadrata di 2, usando le cifre decimali al posto delle frazioni. Cominciamo con x 1 = 1. Allora

Allora si avrà

Adesso prendiamo x1 = 1.415.  Allora

Adesso prendiamo x1 = 1.41421.   Allora

e dato che ora x1 e x2 sono uguali fino alla quinta cifra decimale  (cioè differiscono di meno di un centomillesimo) a questo punto possiamo smettere, a meno che non vogliate arrivare ad un grado di precisione ancora maggiore.

Esercizi.  Calcolate con la formula ricorrente, fino alla seconda cifra decimale, le radici quadrate :

√3;     √5;     √15.   Controllate poi il risultato ottenuto con una calcolatrice. L’esercizio è, di nuovo, più divertente del gioco dell’oca.

Calculus

Info su Alberto

Alberto Pélissier nato a Firenze, vive e lavora a Viterbo, dopo una breve esperienza in società americana (Caterpillar) ha insegnato matematica nella scuola media, ha svolto attività di insegnamento utilizzando le nuove tecnologie che ha costantemente adattato alla realtà scolastica. Ha avuto incarichi di docenza in corsi di “Uso didattico del computer”, “Ricerca metodologica e uso consapevole in internet”, “Aggiornamento per l’uso di Cabrì Géometre per docenti di matematica”, ha partecipato ai convegni “Incontri con la matematica” in Castel S. Pietro (Uni Bologna) dal ’97 al 2006, svolge per diletto, attività di “web design”, continua contatti con scuole primarie e secondarie e cura l’aggiornamento del suo blog scolastico - http://www.doddlemath.net - http://www.webal.eu - Ha una collaborazione (volontaria) con la Biblioteca "Fumi" di Orvieto http://www.bibliotecaorvieto.it/ E' appassionato di musica e collabora con la UEL - Università della Età Libera - con proposte di opere e autori di cui cura la presentazione.
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