Il metodo di stimare la radice quadrata di un numero, e poi farne il quadrato per vedere se è troppo grande o troppo piccolo, può essere semplificato per eliminare la necessità di tirare a indovinare. Supponiamo di voler calcolare un valore approssimativo di √2. Se il primo tentativo è 1, prendiamo come secondo tentativo il numero dato diviso il primo, cioè 2 diviso 1: se il primo tentativo fosse già la soluzione giusta il quoziente della divisione dovrebbe essere uguale al divisore 1, invece 2 diviso 1 fa 2. Adesso suggeriamo di prendere come nuovo tentativo la media tra divisore e quoziente, cioè tra 1 e 2. Questa media (1+2)/2, che è uguale a 3/2. Scegliendo 3/2 come nuovo tentativo, proviamo a dividere 2 per 3/2, cioè 2:3/2 = 4/3. Anche questa volta il divisore e il quoziente sono diversi: uno è troppo grande e l’altro è troppo piccolo per essere la soluzione. La media di questi due valori dà un valore ancora più vicino a quello esatto:
questo procedimento può essere portato avanti finché si vuole: ogni passo avanti permette di ottenere una migliore approssimazione. Questo tipo di soluzione è adatto specialmente ai moderni calcolatori elettronici, perché richiede soltanto che si forniscano alla macchina le istruzioni che le dicono di eseguire una serie molto semplice di operazioni aritmetiche: prima una divisione, poi un’addizione, e infine un’altra divisione. Questo ciclo si ripete finché si è raggiunta l’approssimazione richiesta. Il procedimento appena descritto serve per calcolare la radice quadrata di qualsiasi numero N. Supponiamo di aver scelto come primo tentativo per √N un valore qualsiasi x 1; Adesso dividiamo N per x 1 ; otteniamo N/x 1. Poi facciamo la media tra x 1 e N/x 1, per ottenere un nuovo valore di x 1, che sarà più vicino alla risposta esatta. La formula si può scrivere così:
Questa sembra una formula molto ragionevole, perché in sostanza dice: “Cerco un numero che, moltiplicato per se stesso, dia N. Se x 1 è abbastanza vicino alla soluzione giusta, ma troppo grande, allora N/x 1 sarà troppo piccolo, ma la media di questi due numeri dovrebbe essere più vicina alla risposta esatta”. Infatti, x 2 è proprio la media di x 1 e di N/x 1. Questo genere di formula si chiama formula ricorrente, perché si può prendere il valore più preciso, x 2, e introdurlo nella formula al posto di x 1, per ottenere un’approssimazione ancora migliore; a questo procedimento si può ricorrere a piacere finché si sono ottenute tutte le cifre decimali desiderate. Ripetiamo il problema della radice quadrata di 2, usando le cifre decimali al posto delle frazioni. Cominciamo con x 1 = 1. Allora
Adesso prendiamo x1 = 1.415. Allora
Adesso prendiamo x1 = 1.41421. Allora
e dato che ora x1 e x2 sono uguali fino alla quinta cifra decimale (cioè differiscono di meno di un centomillesimo) a questo punto possiamo smettere, a meno che non vogliate arrivare ad un grado di precisione ancora maggiore.
Esercizi. Calcolate con la formula ricorrente, fino alla seconda cifra decimale, le radici quadrate :
√3; √5; √15. Controllate poi il risultato ottenuto con una calcolatrice. L’esercizio è, di nuovo, più divertente del gioco dell’oca.
Calculus
