Divisione per 9

Ecco un problema famoso di cui talvolta vi servite a scuola.

Scegliete un numero qualunque, per esempio 582.

Sommate le cifre  5 + 8 + 2 = 15

ora sommate le cifre del risultato  1 + 5 = 6

dividete il numero dato per 9

Ripetete questi passaggi usando i numeri qui sotto indicati. Continuate a sommare le cifre, finché non ottenete numeri di una cifra. Vedete se dai risultati potete scoprire una qualche regolarità.

a. 239           b. 1053          c. 82        d. 6975

Se non avete fatto errori nei calcoli, troverete una ricorrenza molto interessante. Se la somma delle cifre è inferiore a 9, essa è uguale al resto ottenuto dividendo per 9 il numero di partenza. Se la somma è 9, il numero dato è divisibile per 9. Su questo problema è basata la così detta “prova del nove”.

Scegliamo un numero qualsiasi (ne prendiamo ad esempio uno di quattro cifre):

1000 a + 100 b + 10 c + d.

Riscriviamo il numero in questa forma:

a (999+1) + b (99+1) + c (9+1) + d.

Associamo i termini come segue:

(999a + 99b + 9c) + ( a+b+c+d).

L’espressione (999a+99b+9c) contiene il 9 come fattore e quindi è divisibile per 9. Se la somma delle cifre a+b+c+d è 9, il numero intero iniziale contiene il 9 come fattore ed è quindi divisibile per 9. Se la somma a+b+c+d è inferiore a 9, essa rappresenta il resto ottenuto dalla divisione per 9 del numero dato. Se tale somma supera 9, la possiamo rappresentare sotto la forma  10 x+y.

Ripetendo il procedimento sopra descritto, otterremo x(9+1)+y=9 x+x+y.

Ora se x+y=9, il numero dato è divisibile per 9, se x+y è inferiore a 9, esso è il resto ottenuto dalla divisione per 9 del numero dato. Se fossimo partiti da un numero di più di sei cifre, sarebbero state necessarie più addizioni per ottenere un numero di una sola cifra.

Info su Alberto

Alberto Pélissier nato a Firenze, vive e lavora a Viterbo, dopo una breve esperienza in società americana (Caterpillar) ha insegnato matematica nella scuola media, ha svolto attività di insegnamento utilizzando le nuove tecnologie che ha costantemente adattato alla realtà scolastica. Ha avuto incarichi di docenza in corsi di “Uso didattico del computer”, “Ricerca metodologica e uso consapevole in internet”, “Aggiornamento per l’uso di Cabrì Géometre per docenti di matematica”, ha partecipato ai convegni “Incontri con la matematica” in Castel S. Pietro (Uni Bologna) dal ’97 al 2006, svolge per diletto, attività di “web design”, continua contatti con scuole primarie e secondarie e cura l’aggiornamento del suo blog scolastico - http://www.doddlemath.net - http://www.webal.eu - Ha una collaborazione (volontaria) con la Biblioteca "Fumi" di Orvieto http://www.bibliotecaorvieto.it/ E' appassionato di musica e collabora con la UEL - Università della Età Libera - con proposte di opere e autori di cui cura la presentazione.
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