Con ogni numero lo stesso risultato
C’è un interessante tipo di problemi matematici nei quali si parte da un numero qualsiasi, si esegue una serie di operazioni aritmetiche e si ottiene sempre lo stesso risultato o risultati con proprietà simili. Eccovi alcuni problemi di questo tipo. Benché sia interessante notare la regolarità dei risultati è importante soprattutto dimostrare il “perché” della regolarità. Per alcuni problemi daremo le soluzioni e le dimostrazioni; provate tuttavia a scoprire da soli le regolarità. Oltre ad essere divertenti, questi problemi sono anche utili perché mettono in luce alcuni importanti proprietà del nostro sistema di numeri.
Perché il risultato è sempre 22 ?
Scegliete tre numeri diversi inferiori a 10, come 1, 6, 8. Formate con essi tutti i possibili numeri di due cifre. Otterrete sempre sei numeri diversi. In questo caso i numeri sono:
16, 18, 61, 68, 81, 86.
Sommate i sei numeri trovati:
16+18+61+68+81+86=330.
Sommate i tre numeri dati:
1+6+8=15
Dividete la somma dei numeri di due cifre per la somma di quelli di una cifra:
330/15=22
Ripetete il procedimento ora descritto, usando le seguenti terne:
a. 1, 2, 3 b. 4, 5, 6 c. 7, 8, 9 d. 2, 4, 6.
Se non sbaglierete i calcoli, troverete che il risultato è sempre lo stesso, cioè 22. Tentiamo di dimostrare che questo è sempre vero.
Siano a, b, c tre numeri qualunque inferiori a 10. Formate con queste tre cifre tutti i possibili numeri di due cifre. Avrete sempre sei numeri che potete scrivere sotto la forma:
(10a+b)+(10a+c)+(10b+a)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)= 22a +22b +22c = 22(a+b+c).
Se si divide questa espressione per la somma dei tre numeri (a+b+c), si ottiene 22. I risultato è dunque sempre 22. Provate e ……… buon divertimento !
