Misurare

Cosa vuol dire misurare?

Quanta aria avete respirato oggi? (in condizioni di riposo un adulto medio compie 18/20 respirazioni al minuto), quante calorie ci sono in 100 gr di cioccolata? E la distanza dalla Terra alla Luna? Di quanta luce  hai bisogno per infilare un filo nella cruna di un ago? Quanto misura Giovanni? Naturalmente vogliamo sapere alcuni dati su Giovanni, quanto è alto, quanto pesa, quanto è “vecchio”. A tutte queste domande si risponde con qualche misura. Il cibo, l’aria, l’acqua sono stati misurati. La luce, il calore, l’elettricità, il suono sono stati misurati. Sicuramente sono state misurate anche la tua vista e la tua velocità nella corsa. Ma come si misurano le cose? Chi ha inventato le unità di misura? Se vai al mercato e acquisti delle mele del peso di 3 chilogrammi e dal costo totale di 1.75 euro. In questo caso sei di fronte a due misure, e in in ogni misura è stato usato un numero per descrivere una proprietà : il peso in Kg, il prezzo in euro.

Nascita e sviluppo delle misure

Le misure nascono dal confronto tra le cose. Le prime misure fatte usando unità di misura erano semplici: il piede, la mano, il pollice, un passo. Usava sassi per misurare il peso, il sole o la luna per il tempo o le stagioni. Oggi, l’industria moderna ha bisogno di misure precise. Le misure moderne nascono con Enrico I d’Inghilterra – regnò tra il 1100 e il 1135, decretò che una iarda dovesse essere la distanza tra la punta del suo naso e il pollice della sua mano tesa. L’idea di impostare un sistema di unità di misura adeguato alle necessità della scienza ma semplice da usare anche nella pratica risale al XVII secolo. Nel 1791 fu scelta come unità fondamentale la quaranta-milionesima parte del meritiamo terrestre, il metro. Per aree e volumi il metro quadro e il metro cubo. Per i pesi il chilogrammo, pari al peso di un litro d’acqua distillata a 4 °C, con i suoi multipli e sottomultipli. Nel 1875 il sistema metrico divenne internazionale ad opera di una Convenzione Metrica Internazionale. Il sistema metrico decimale è basato sul numero 10. L’unità fondamentale di ciascun tipo di grandezza si divide per le potenze di 10.

La storia della misura del tempo

Cosa è il tempo? sembra una domanda banale ma non lo è. I primi uomini misuravano il tempo col sorgere del sole o con le fasi della luna. Molto più tardi furono inventati gli orologi per misurare intervalli più brevi. Le unità di tempo sono definiti base al movimento della Terra rispetto alle stelle. L’unità di tempo è il secondo che è la 60esima parte del minuto, la 3600ma parte dell’ora e la la 86400ma parte del giorno solare medio.

La misura degli angoli

Gli angoli sono sono usati in molte occasioni: nel tracciare la rotta di un aeroplano, nel costruire una casa. Le nostre unità di misura derivano da unità babilonesi (base 60): dividevano il cerchio in 360 parti uguali (gradi), queste in 60 parti (minuti) e queste in 60 parti (secondi). Non sono solo queste le unità di misura degli angoli. Studierete il radiante, la suddivisione centesimale ma anche altro.

La misura della forza, del lavoro, dell’energia e della potenza

Le unità di misura per le forze (compressione, trazione) sono uguali alle unità di peso (grammi, chilogrammi). Si esegue un lavoro, in senso scientifico, quando una forza sposta un oggetto per un certo tratto. Esempio: quando un chilogrammo è sollevato di un metro, la quantità di lavoro eseguito si chiama chilogrammetro. L’energia si misura con le stesse unità del lavoro. La potenza è definita come la velocità con cui si esegue un lavoro. James Watt trovò che un cavallo medio poteva sollevare 550 libbre all’altezza di un piede in un secondo: perciò una macchina capace di fare lo stesso lavoro a ogni secondo si dice che ha la potenza di un cavallo vapore.

La misura del calore e della temperatura

Molte forme di energia sono misurate con unità speciali. L’unità di misura del calore è la caloria (cal). La caloria è la quantità di calore necessaria per aumentare di un grado centigrado la temperatura di un grammo di acqua – esattamente per innalzare da 14.5 a 15.5 °C. Questa si chiama piccola caloria. La chilocaloria (kcal) rappresenta mille volte la piccola caloria (cal). Da notare che temperatura e calore non sono la stessa cosa. La temperatura misura l’intensità relativa dell’energia termica in un dato posto, espressa in gradi, sopra o sotto un punto di riferimento chiamato zero. Nella scala centigrada lo zero è in coincidenza del ghiaccio fondente e 100°C quella dell’acqua in ebollizione.

Misura della luce

Per il mio tavolo ho bisogno di una lampadina da 900 lumen. Bene, il lumen è usato per misurare il flusso luminoso emesso da una sorgente luminosa. E’ una misura della potenza utile di una lampadina, cioè di quella che corrisponde effettivamente a luce visibile all’occhio umano. gli astronomi usano una unità di misura di lunghezza chiamata anno luce, che è la distanza che la luce percorre in un anno, circa 946 miliardi di chilometri.

Misure del suono

Come si misura il rumore proveniente dalla classe durante l’intervallo di ricreazione? Per rispondere si ha la scala in decibel. Un suono che può essere udito da un orecchio normale ha l’intensità di 0 decibel, un suono tanto intenso da provocare la soglia di dolore per un orecchio normale ha una intensità di circa 120 decibel. Un argomento a parte riguarda l’altezza del suono. I musicisti sono interessati all’altezza del suono. L’altezza dipende dalla frequenza con cui vibra lo strumento musicale che produce il suono: quanto più grande è la frequenza tanto più alto è il suono. La frequenza si misura in cicli al secondo (Herz).

Misura dell’elettricità

Il coulomb e la carica dell’elettrone sono usati come unità di carica elettrica. La quantità di carica elettrica che passa ad ogni secondo in un conduttore è misurata in ampere. La tensione che fa muovere le cariche elettriche lungo i conduttori si misura in volt. La resistenza dei conduttori, che si oppone al passaggio della corrente, è misurata in ohm. La potenza elettrica è misurata in watt.

ora una sorpresa: clicca qui e buon divertimento

http://video.d.repubblica.it/lifestyle/van-gogh-dipinti-animati/4325/4472

per ora ciao, a presto

(…. segue)

Pubblicato in Uncategorized | Lascia un commento

Pitagora e la bottega Michelangeli di Orvieto

una divertente trasposizione del teorema di Pitagora

Per arrivarci cliccate sul sito http://www.michelangeli.it

 

Pubblicato in Uncategorized | Commenti disabilitati su Pitagora e la bottega Michelangeli di Orvieto

l’ora di calcolo – la somma è 3

l’ora di calcolo – la somma è 3
Content
Ecco un problema, strettamente legato a quello precedente (Divisione per 9 ). Cominciamo con un numero qualunque, per esempio 32.

moltiplicatelo per 3 3(32) = 96

aggiungete 1 96+1 = 97

aggiungete ancora 1 97+1 = 98

sommate i tre numeri 96+97+98 = 291

sommate le tre cifre del numero ottenuto 2+9+1 = 12

sommate di nuovo le cifre 1+2 = 3

Ripetete questi passaggi con i numeri seguenti, finché la somma delle cifre darà un numero di una sola cifra. Notate una regolarità nei risultati ?

a. 2; b.4; c. 6; d. 25.

Dovreste avere ottenuto sempre come risultato 3. Potete facilmente dimostrare che questo è vero, qualunque sia il numero da cui partite.

Gli ultimi due passaggi in questo problema sono identici a quelli del problema del 9; quindi il problema precedente spiega anche questi. Ricordiamo che la somma delle cifre di un numero è uguale al resto della divisione del numero per 9. Dobbiamo ora dimostrare che la somma dei tre numeri dati divisa per 9 dà per resto 3. Questo si può fare nel modo seguente:

partite da un numero qualunque n

moltiplicatelo per 3 3n

aggiungete 1 3n+1

aggiungete ancora 1 3n+2

sommate i tre numeri 3n + (3n +1) + (3n + 2) = 9n +3

Questa somma è espressa da un multiplo del 9 più un resto di 3. Se sommiamo le cifre di un tale numero, otteniamo 3.

Inversione e sottrazione in un numero di tre cifre

Partite da un numero di tre cifre diverse l’una dall’altra, per esempio 532.

Invertite l’ordine delle cifre: 235.

Poi sottraete il numero minore dal maggiore:

532-235 = 297.

Ripetete questi passaggi con i seguenti numeri e vedete se scoprite qualche regolarità:

a. 123; b. 956; c. 489; d. 246.

Provate con altri numeri se credete.

Avete notato che in ciascun risultato la cifra di mezzo è 9, e la somma delle altre due cifre è sempre 9?

Diamo ora la prova algebrica di questi risultati.

Partiamo da un numero di tre cifre, privo di cifre uguali. Siano a le centinaia, b le decine, c le unità. Il nostro numero di partenza può essere scritto:

100a + 10b + c.

Se invertiamo l’ordine delle cifre otteniamo:

100c+10b+a.

Supponendo che a sia più grande di c, sottraiamo il minore dal maggiore.

(100a +10b + c) – (100c +10b + a) =100a -100c + c – a =

= 100 (a – c) + c – a = 100 (a – c) – (a – c)

(a – c) potrebbe rappresentare la nuova cifra delle centinaia e – (a – c) la nuova cifra delle unità. Ma – (a – c) è un numero negativo, poiché abbiamo supposto a maggiore di c, e non si comprende come si possa scrivere un numero positivo usando un numero negativo di unità. Possiamo modificare questa situazione aggiungendo e sottraendo 100 nella precedente espressione:

100 (a – c) – (a – c) = (100(a – c) – 100) + 100 – (a – c).

Trasformiamo l’espressione come segue, in modo da avere una cifra delle centinaia, una delle decine e una delle unità: 100(a-c-1)+9(10)+(10-(a-c)).

Ora abbiamo il risultato nella forma desiderata. Possiamo vedere che la cifra delle decine è 9 e che la somma delle altre cifre è sempre 9. Infatti:

(a – c – 1) + (10 – (a – c))=10 – 1 = 9

ciao!

Pubblicato in Uncategorized | Lascia un commento

Una interessante formula per la radice quadrata

Il metodo di stimare la radice quadrata di un numero, e poi  farne il quadrato per vedere se è troppo grande o troppo piccolo, può essere semplificato per eliminare la necessità di tirare a indovinare. Supponiamo di voler calcolare un valore approssimativo di √2.  Se il primo tentativo è 1, prendiamo come secondo tentativo il numero dato diviso il primo, cioè 2 diviso 1: se il primo tentativo fosse già la soluzione giusta il quoziente della divisione dovrebbe essere uguale al divisore 1, invece 2 diviso 1 fa 2. Adesso suggeriamo di prendere come nuovo tentativo la media tra divisore e quoziente, cioè tra 1 e 2. Questa media (1+2)/2, che è uguale a 3/2. Scegliendo 3/2 come nuovo tentativo, proviamo a dividere 2 per 3/2, cioè 2:3/2 = 4/3. Anche questa volta il divisore e il quoziente sono diversi: uno è troppo grande e l’altro è troppo piccolo per essere la soluzione. La media di questi due valori dà un valore ancora più vicino a quello esatto:

questo procedimento può essere portato avanti finché si vuole: ogni passo avanti permette di ottenere una migliore approssimazione. Questo tipo di soluzione è adatto specialmente ai moderni calcolatori elettronici, perché richiede soltanto che si forniscano alla macchina le istruzioni che le dicono di eseguire una serie molto semplice di operazioni aritmetiche: prima una divisione, poi un’addizione, e infine un’altra divisione. Questo ciclo si ripete finché si è raggiunta l’approssimazione richiesta. Il procedimento appena descritto serve per calcolare la radice quadrata di qualsiasi numero N. Supponiamo di aver scelto come primo tentativo per √N un valore qualsiasi x 1; Adesso dividiamo N per x 1 ; otteniamo N/x 1. Poi facciamo la media tra x 1 e N/x 1, per ottenere un nuovo valore di x 1, che sarà più vicino alla risposta esatta. La formula si può scrivere così:

Questa sembra una formula molto ragionevole, perché in sostanza dice: “Cerco un numero che, moltiplicato per se stesso, dia N. Se x 1 è abbastanza vicino alla soluzione giusta, ma troppo grande, allora N/x 1 sarà troppo piccolo, ma la media di questi due numeri dovrebbe essere più vicina alla risposta esatta”. Infatti, x 2 è proprio la media di x 1 e di N/x 1. Questo genere di formula si chiama formula ricorrente, perché si può prendere il valore più preciso, x 2, e introdurlo nella formula al posto di x 1, per ottenere un’approssimazione ancora migliore; a questo procedimento si può ricorrere a piacere finché si sono ottenute tutte le cifre decimali desiderate. Ripetiamo il problema della radice quadrata di 2, usando le cifre decimali al posto delle frazioni. Cominciamo con x 1 = 1. Allora

Allora si avrà

Adesso prendiamo x1 = 1.415.  Allora

Adesso prendiamo x1 = 1.41421.   Allora

e dato che ora x1 e x2 sono uguali fino alla quinta cifra decimale  (cioè differiscono di meno di un centomillesimo) a questo punto possiamo smettere, a meno che non vogliate arrivare ad un grado di precisione ancora maggiore.

Esercizi.  Calcolate con la formula ricorrente, fino alla seconda cifra decimale, le radici quadrate :

√3;     √5;     √15.   Controllate poi il risultato ottenuto con una calcolatrice. L’esercizio è, di nuovo, più divertente del gioco dell’oca.

Calculus

Pubblicato in Uncategorized | Lascia un commento

l’ora di calcolo

PRODOTTI E SUPERFICI

La distributività

Se si associa, al prodotto a x b di due numeri, la superficie di un rettangolo dove i lati misurano a  e b (non necessariamente interi). Allora la formula

a(b+c)=(axb)+(axc)

si interpreta come la proprietà della additività della misura delle superfici:

Questa interpretazione illustra con efficacia qualche altra formula conseguente a questa distributività.

Nel XVII secolo, chi calcolava, utilizzava le proprietà ora esposte.

Pubblicato in Uncategorized | Lascia un commento

Divisione per 9

Ecco un problema famoso di cui talvolta vi servite a scuola.

Scegliete un numero qualunque, per esempio 582.

Sommate le cifre  5 + 8 + 2 = 15

ora sommate le cifre del risultato  1 + 5 = 6

dividete il numero dato per 9

Ripetete questi passaggi usando i numeri qui sotto indicati. Continuate a sommare le cifre, finché non ottenete numeri di una cifra. Vedete se dai risultati potete scoprire una qualche regolarità.

a. 239           b. 1053          c. 82        d. 6975

Se non avete fatto errori nei calcoli, troverete una ricorrenza molto interessante. Se la somma delle cifre è inferiore a 9, essa è uguale al resto ottenuto dividendo per 9 il numero di partenza. Se la somma è 9, il numero dato è divisibile per 9. Su questo problema è basata la così detta “prova del nove”.

Scegliamo un numero qualsiasi (ne prendiamo ad esempio uno di quattro cifre):

1000 a + 100 b + 10 c + d.

Riscriviamo il numero in questa forma:

a (999+1) + b (99+1) + c (9+1) + d.

Associamo i termini come segue:

(999a + 99b + 9c) + ( a+b+c+d).

L’espressione (999a+99b+9c) contiene il 9 come fattore e quindi è divisibile per 9. Se la somma delle cifre a+b+c+d è 9, il numero intero iniziale contiene il 9 come fattore ed è quindi divisibile per 9. Se la somma a+b+c+d è inferiore a 9, essa rappresenta il resto ottenuto dalla divisione per 9 del numero dato. Se tale somma supera 9, la possiamo rappresentare sotto la forma  10 x+y.

Ripetendo il procedimento sopra descritto, otterremo x(9+1)+y=9 x+x+y.

Ora se x+y=9, il numero dato è divisibile per 9, se x+y è inferiore a 9, esso è il resto ottenuto dalla divisione per 9 del numero dato. Se fossimo partiti da un numero di più di sei cifre, sarebbero state necessarie più addizioni per ottenere un numero di una sola cifra.

Pubblicato in Uncategorized | Lascia un commento

Problemi e regolarità

Con ogni numero lo stesso risultato

C’è un interessante tipo di problemi matematici nei quali si parte da un numero qualsiasi, si esegue una serie di operazioni aritmetiche e si ottiene sempre lo stesso risultato o risultati con proprietà simili. Eccovi alcuni problemi di questo tipo. Benché sia interessante notare la regolarità dei risultati è importante soprattutto dimostrare il “perché” della regolarità. Per alcuni problemi daremo le soluzioni e le dimostrazioni; provate tuttavia a scoprire da soli le regolarità. Oltre ad essere divertenti, questi problemi sono anche utili perché mettono in luce alcuni importanti proprietà del nostro sistema di numeri.

Perché il risultato è sempre 22 ?

Scegliete tre numeri diversi inferiori a 10, come 1, 6, 8. Formate con essi tutti i possibili numeri di due cifre. Otterrete  sempre sei numeri diversi. In questo caso i numeri sono:

16, 18, 61, 68, 81, 86.

Sommate i sei numeri trovati:

16+18+61+68+81+86=330.

Sommate i tre numeri dati:

1+6+8=15

Dividete la somma dei numeri di due cifre per la somma di quelli di una cifra:

330/15=22

Ripetete il procedimento ora descritto, usando le seguenti terne:

a. 1, 2, 3        b. 4, 5, 6       c. 7, 8, 9       d. 2, 4, 6.

Se non sbaglierete i calcoli, troverete che il risultato è sempre lo stesso, cioè 22. Tentiamo di dimostrare che questo è sempre vero.

Siano a, b, c  tre numeri qualunque inferiori a 10. Formate con queste tre cifre tutti i possibili numeri di due cifre. Avrete sempre sei numeri che potete scrivere sotto la forma:

(10a+b)+(10a+c)+(10b+a)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)= 22a +22b +22c = 22(a+b+c).

Se si divide questa espressione per la somma dei tre numeri (a+b+c), si ottiene 22. I risultato è dunque sempre 22.   Provate e ……… buon divertimento !

Pubblicato in Uncategorized | Lascia un commento

Curiosità numeriche

Regolarità insolite ottenute con speciali fattori
Particolari moltiplicazioni, con particolari fattori, offrono spesso interessanti relazioni numeriche. Esaminiamo alcuni esempi.
Scegliete un numero, per esempio 7. Moltiplicatelo per 9 e ottenete 63. Ora moltiplicate: 12 345 679 x 9 =
Vi sorprende il risultato ? Scegliete un altro numero, per esempio il 5 e moltiplicatelo per 9; ottenete 45. Ora moltiplicate: 12 345 679 x 45 =
Un’altra sorpresa ? Abbiamo solo dieci cifre, 0, 1, ….. , 8, 9; potete provare anche con le altre otto, seguendo lo stesso procedimento: scegliete una cifra, moltiplicatela per 9 e poi moltiplicate il prodotto ottenuto per 12 345 679. Si può spiegare questo fatto ? Torniamo al primo esempio ed esaminiamo il risultato 12 345 679 x 63 = 777 777 777 questo può essere scritto: 12 345 679 x 7 x 9 = 7 (111 111 111). Dividendo ambo i membri per 7 si ha 12 345 679 x 9 = 111 111 111, ed è facile verificare che 111 111 111/9 = 12 345 679. Se eseguite voi stessi la divisione vi accorgerete del perché manchi l’8. Lo stesso ragionamento si può ripetere per una qualsiasi altra cifra. Poiché è vero che 12 345 679 x 9 = 111 111 111, moltiplicando ambo i membri per la cifra d , si ottiene il seguente enunciato, anch’esso vero: 12 345 679 x (d x9) = d (111 111 111) =ddd ddd ddd.
Moltiplicando quattro numeri interi consecutivi
Esaminiamo un altro curioso calcolo e, piu tardi (in terza media) tenteremo di dedurne un piccolo teorema.
1° passaggio.
Moltiplicate 4 numeri naturali consecutivi a partire da 1: (1) (2) (3) (4) = 24. Aggiungete 1: 24 + 1 = 25. Osservate che si è ottenuto un quadrato perfetto.
2° passaggio.
Moltiplicate 4 numeri naturali consecutivi a partire da 2: (2) (3) (4) (5) = 120. Aggiungete 1 e otterrete 121. Osservate che anche questo è un quadrato perfetto.
Analogamente (3) (4) (5) (6) = 360. Aggiungete 1 e otterrete 361. Ancora un quadrato perfetto (19 x 19) = 361 Avete abbastanza prove per essere indotti a pensare che il prodotto di 4 naturali consecutivi più 1 sia sempre un quadrato perfetto ? Sembra impossibile ma anche qui si può trovare una dimostrazione (c’è un po’ di algebra quindi rimandiamo anche questa in terza media). Intanto voi verificatelo con questi calcoli (aiutatevi con una calcolatrice). Aggiungete 1 ai seguenti prodotti e mostrate che si ottengono dei quadrati perfetti. 1. (4) (5) (6) (7)
2. (5) (6) (7) (8) 3. (9) (10) (11) (12).
buon divertimento!! da alberto pélissier

ora continuate con

Regolarità insolite ottenute con speciali fattori

 

Particolari moltiplicazioni, con particolari fattori, offrono spesso interessanti relazioni numeriche. Esaminiamo alcuni esempi.

Scegliete un numero, per esempio 7. Moltiplicatelo per 9 e ottenete 63. Ora moltiplicate: 12 345 679 x 9 =

Vi sorprende il risultato ? Scegliete un altro numero, per esempio il 5 e moltiplicatelo per 9; ottenete 45. Ora moltiplicate: 12 345 679 x 45 =

Un’altra sorpresa ? Abbiamo solo dieci cifre, 0, 1, ….. , 8, 9; potete provare anche con le altre otto, seguendo lo stesso procedimento: scegliete una cifra, moltiplicatela per 9 e poi moltiplicate il prodotto ottenuto per 12 345 679. Si può spiegare questo fatto ? Torniamo al primo esempio ed esaminiamo il risultato 12 345 679 x 63 = 777 777 777 questo può essere scritto: 12 345 679 x 7 x 9 = 7 (111 111 111). Dividendo ambo i membri per 7 si ha 12 345 679 x 9 = 111 111 111, ed è facile verificare che 111 111 111/9 = 12 345 679.  Se eseguite voi stessi la divisione vi accorgerete del perché manchi l’8. Lo stesso ragionamento si può ripetere per una qualsiasi altra cifra. Poiché è vero che 12 345 679 x 9 = 111 111 111,  moltiplicando ambo i membri per la cifra d , si ottiene il seguente enunciato, anch’esso vero: 12 345 679 x  (d x9) = d (111 111 111) =ddd ddd ddd.

Moltiplicando quattro numeri interi consecutivi

Esaminiamo un altro curioso calcolo e, piu tardi (in terza media) tenteremo di dedurne un piccolo teorema.

1° passaggio.

Moltiplicate 4 numeri naturali consecutivi  a partire da 1: (1) (2) (3) (4) = 24. Aggiungete 1:  24 + 1 = 25. Osservate che si è ottenuto un quadrato perfetto.

2° passaggio.

Moltiplicate 4 numeri naturali consecutivi a partire da 2: (2) (3) (4) (5) = 120. Aggiungete 1 e otterrete 121. Osservate che anche questo è un quadrato perfetto.

Analogamente (3) (4) (5) (6) = 360.  Aggiungete 1  e otterrete 361. Ancora un quadrato perfetto (19 x 19) = 361 Avete abbastanza prove per essere indotti a pensare che il prodotto di 4 naturali consecutivi più 1 sia sempre un quadrato perfetto ? Sembra impossibile ma anche qui si può trovare una dimostrazione (c’è un po’ di algebra quindi rimandiamo anche questa in terza media). Intanto voi verificatelo con questi calcoli (aiutatevi con una calcolatrice). Aggiungete 1 ai seguenti prodotti e mostrate che si ottengono dei quadrati perfetti. 1. (4) (5) (6) (7)

2. (5) (6) (7) (8)      3. (9)  (10) (11) (12).

Ora però divertitevi con un passatempo meno impegnativo.

Completa ciascuna delle linee seguenti per ottenere delle uguaglianze, utilizzando uno o più segni.

 

Pubblicato in Uncategorized | Lascia un commento